Elementos

(Nota explicativa a los textos: las letras griegas alfa, beta, etc., aparecen en el texto como a, b, etc.)

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La proyección central o cónica representa lo que se “ve” desde un punto O (centro de proyección) proyectando los elementos sobre un plano de cuadro “PC” exterior a él (en gris). Se define la distancia entre O y el PC mediante una circunferencia CD (en verde) de radio OP y centro P, donde P (punto principal) es la intersección de la perpendicular desde O hasta el PC.
Un plano (en amarillo) se representa por su intersección con el PC que es la traza ta y por la recta límite l’a, ésta se obtiene haciendo una paralela por O al plano hasta que corta al PC, en este punto de corte se traza una paralela l’a a la traza del plano ta.
La recta límite l’a es la imagen de la recta del infinito del plano y siempre es paralela a ta.









Representación del plano a con su traza ta y recta límite l’a y el plano de cuadro coincidente con el plano del papel en proyección central,









La proyección central (desde un centro V) es el fundamento de la perspectiva cónica, donde el centro de proyección V es el punto de vista, P es el punto principal o proyección ortogonal sobre el plano de representación PC (plano de cuadro), y el círculo de distancia CD es la circunferencia de radio VP y centro en P.









En proyección central representamos la recta a por su proyección a’.
En la imagen se representa las proyecciones ortogonales al plano del cuadro de la recta del espacio a y su paralela por O y la representación de la recta a’.
El segmento O-L’a es siempre paralelo a “a”, aunque estas dos rectas que se representan por sus proyecciones ortogonales sobre el PC no son necesarias representarlas.









Aquí observamos la disposición espacial de la recta a y su representación a’, todos los puntos de a tienen su imagen en a’ y están alineados con O; la imagen de L’a está en el infinito –el punto más alejado de la recta-, ya que si L’a no tuviera imagen o punto correspondiente sobre la recta a’ sería como decir que la representación de una recta es otra recta menos un punto y de ésta otra menos otro y así hasta el infinito, ello resultaría contradictorio: la proyección central por ser una homografía transforma rectas en rectas, planos en planos, etc.







Hay una analogía entre los objetos del espacio que se van a representar y lo que se dibuja incidente en O.
Si una recta o plano tienen una dirección dada, por O se hace una paralela a esa dirección, determinando siempre de esta forma los elementos límites. De igual manera, el ángulo que forma la recta a con el plano del cuadro es igual al ángulo que forma L’a-O con el plano del cuadro, ya que son rectas paralelas.

Incidencia

Todos los elementos que “se observan” desde O se proyectan sobre el plano de cuadro (PC), entendiéndose por proyección de un punto M la intersección M’ del segmento OM con el plano de cuadro (plano gris en la imagen), a su imagen sobre el PC lo denominamos M’.
Una recta a se representa por su imagen o proyección a’ y todos los puntos de ella tienen sus imágenes sobre la proyección a’ de la misma: M’ es proyección de M y P’de P.
Todas las proyecciones de los elementos del espacio pasan o inciden en el plano de cuadro PC, tanto si están por debajo del plano del cuadro, como si están por encima como pasa con el punto P y su homólogo P’.









Proyección central del caso anterior: perspectiva P’ de P y M’ de M.









Si se pasa por O un plano paralelo a a hasta que corte al plano del cuadro PC, obtenemos en la intersección la recta límite de ese plano L’m, que es la correspondiente al horizonte en perspectiva.
Si una recta m está sobre el plano que vamos a representar, su punto límite L’m (o de fuga en perspectiva, o de desvanecimiento, su equivalente) también está sobre la recta límite del plano, al mismo tiempo la traza de la recta Tm está en la traza del plano, ya que una recta del plano tiene todos sus puntos sobre éste.











Las rectas a b, por pertenecer al plano tienen sus puntos límites La’ Lb’ en la recta límite del plano l’a, y por ser paralelas, sus puntos límites son coincidentes, ya que al hacer una paralela a las dos por el centro de proyección, esta recta es única, obteniéndose el mismo punto límite L’a coincidente con L’b, para las dos en la intersección con el PC.








La recta a’, o proyección central de a, incide en un mismo plano con O y a, ya que a’ es la intersección del plano aO con el PC. En consecuencia O, a’, a y todos los puntos de las rectas a y a’ (P, P’,…), así como la traza de la recta y su punto límite son coplanarias.









Esta es la representación en proyección central de un punto P incidente (perteneciente o que pasa por) en la recta a y esta en el plano a. OPP’ siempre alineados ya que P’ es la proyección de P, o sea la intersección de OP con el PC (en gris). La traza de la recta Ta incidente en la traza del plano ta y el punto límite de la recta L’a en la recta límite del plano l’a.








El plano acorta al PC en ta, como la proyección de ta es ella misma, se dice que es un elemento doble, esto es, homóloga de si misma o que su proyección coincide con la recta misma, por lo que no lleva “prima” (t’). Todos los demás elementos que no son dobles llevan la letra correspondiente con “prima”: así, la recta a, por cortarse con el PC en Ta y la proyección de Ta es ella misma no lleva “prima”.










Todas las rectas paralelas que se hagan por O (centro de proyección) al plano a cortan al PC en l’a. La perspectiva o proyección central de esta recta es la que corresponde “al final” del plano como el horizonte que se vislumbra al contemplar una marina es la que corresponde al final visible del mar, con la salvedad de que en este caso es la recta límite curva de una esfera o esferoide, por lo tanto más bajo que el correspondiente a un plano recto.
Como la proyección central de una recta próxima a la traza del plano tiene su representación o proyección próxima a la traza, la más alejada del plano corresponderá a la que se obtiene al trazar por O la paralela a a, por ello se le llama a la recta límite también en perspectiva cónica (que es una proyección centra –esto es-, desde un punto) recta del horizonte o recta de desvanecimiento al horizonte correspondiente al plano del suelo o geometral.

Paralelismo

Si dos rectas a, b, son paralelas, sus puntos límites L’a - L’b son coincidentes ya que al trazar por O una paralela a a y b se obtiene una única intersección con el PC: L’a - L’b, por lo que a’b’ se cortan en sus puntos límites.













Proyección central de las dos rectas a’ b’.











Si las rectas paralelas pertenecen a un plano, sus trazas están en las trazas del plano y sus rectas límites en la recta límite del plano a, ya que si una recta pertenece a un plano tiene todos sus puntos sobre el mismo, pero basta con que tenga dos para pertenecer a él, ya que por dos puntos pasa una única recta.











Representación en proyección central de rectas paralelas incidentes en un plano:












Si la recta a es exterior al plano, tendrá su traza Ta exterior a la traza del plano ta, pero mantendrá su punto límite L’a incidente en la recta límite del plano l’a por ser paralela a él.











Su proyección central:












Si dos planos son paralelos sus rectas límites serán coincidentes, pues el plano paralelo a los dos que se traza por O es único y su intersección con el PC una recta, la límite.












Como se puede observar en la proyección central, las trazas de los planos tb y ta y la recta límite común l’a- l’b, son paralelas.

Intersección

Si dos planos b y a se cortan, lo hacen por una recta a que pasa por dos puntos: la intersección de las trazas Ta de los planos: ta y tb y la intersección de las rectas límites l’a y l’b, ya que las trazas de los planos pasan por el mismo plano, esto es, el plano del cuadro, se cortarán necesariamente en el punto de intersección de éstas. De igual forma, las rectas límites son la imagen de las rectas del infinito de los planos pero están sobre el plano del cuadro y sus puntos corresponden a puntos reales de los mismos, por lo que la intersección L’a de las rectas límites l’a y l’b es un punto de intersección del infinito común a los dos planos.
El plano amarillo y rojo (b y a ) se cortan según la recta a. La dirección de la recta a la define la dirección O-L’a y le recta queda definida por los dos puntos Ta-L’a, puntos comunes a los dos planos.












Aquí tenemos la representación en proyección central de los dos planos con su recta de intersección en proyección central: a’ y su representación ortogonal real sobre el plano del cuadro a, que es la intersección efectiva de los dos planos en proyección ortogonal sobre el PC. La proyección central de la recta a es a’, intersección de a y b, a saber, intersección de ta y t b= Ta e intersección de l’a y l’b= L’a.
La recta a’ queda definida por dos puntos: Ta-L’a, esto es, por el punto de intersección de las trazas de los planos y el punto de intersección de las rectas límites de los planos.












Cualquier punto M de la recta a y por tanto común a los dos planos, tendrá su homólogo o correspondiente M’ sobre a’ y estará alineado con O.













Intersección de recta y plano:

Para calcular la intersección de una recta a con un plano b (en amarillo), se pasa un plano a (rojo) por a, la intersección de los dos planos a y b corta a a en un punto M de la recta a, esa es la intersección de la recta a y el plano b.












En la proyección central observamos la recta a por la que se pasa el plano a y su intersección con b, cuya recta de intersección corta a a’ en M’, punto de intersección de la recta y el plano dados b y a.












Si dos rectas a, b se cortan, determinan un plano, por lo que las trazas y límites de las rectas están en las trazas y límites del plano.











Proyección central de rectas pertenecientes a un plano:

Abatimiento

Si el plano O -l’a lo giramos sobre la recta l’a, siendo l’a el eje de giro, hasta hacerla coincidir con el PC, se dice que abatimos el plano O -l’a.
De igual forma si giramos el plano a sobre su eje ta en el mismo sentido de giro del abatimiento anterior, obtenemos el abatimiento del plano a con sus elementos abatidos: a se transforma en (a).
Como observamos (a) es paralela a la recta abatida que pasa por (O) y l’a ya que lo eran en el espacio y fueron giradas el mismo ángulo y sentido.















Proyección central de a y su abatida (a) y del centro de proyección O y su abatimiento (O). Como el giro es respecto a la recta límite l’a, O-(O) están alineados en una perpendicular a l’a.















La dirección L’a -(O) define la dirección de la recta a, en consecuencia, la abatida (a) y (O)-L’a también son paralelas, por lo que tras el abatimiento (mismo giro de igual sentido) permanecen paralelas.















El plano del giro de O respecto a l’a con centro en P que transforma O en (O) se abate considerando el eje de giro la recta O’-P hasta hacerlo coincidir con el PC. De esta forma obtenemos (O) en proyección central.















De esta forma abatimos, pasando el giro de O del espacio al plano del cuadro PC en proyección central:

Perpendicularidad

Si una recta a es perpendicular a un plano su punto límite L’a unido con el punto O es perpendicular al plano l’a –O.















Cualquier plano (en gris) que pase por la recta a es perpendicular al plano a. Este plano incide en Ta y su recta límite pasa por L’a por que contiene a la recta y sus puntos están sobre él. De ello se deduce que si dos planos son perpendiculares O-M es perpendicular a O-L’a, siendo L’a un punto de la recta límite del plano y M la intersección de O’-L’a con l’a.














Si desde L’a se trazan las tangentes al CD (círculo de distancia = circunferencia verde) y unimos los puntos de tangencia entre sí, obtenemos la polar, siendo L’a el polo de esa recta. La simétrica de la polar respecto a OO’-b es la antipolar.
En una perpendicularidad, los elementos límites se corresponden: La recta límite del plano a y el punto límite de la recta L’a, son antipolar y polo respectivamente, se dice entonces que los elementos límites se corresponden en la antipolaridad respecto al CD.














Proyección central de la recta a (definida por Ta-L’a) perpendicular al plano a
Por O se hace una paralela a l’a, donde corta al CD se obtiene O abatido: (O).
Por O se hace una perpendicular a l’a, en su punto de intersección P lo unimos con (O), trazando por el mismo una perpendicular a P-(O) obtenemos en su intersección con la prolongación de P-O el punto L’a. Todas las rectas cuyo punto límite sea L’a y todos los planos cuya recta límite pase por L’a son perpendiculares a a, al margen de donde tengan sus trazas.












La polar y antipolar son simétricas respecto a O’ como se observa en proyección central:













Una recta y un plano perpendicular siempre se corresponden en la antipolaridad respecto al círculo de distancia. Por O trazamos una paralela a la recta a y obtenemos L’a en la intersección con el plano del cuadro. Por O trazamos una paralela al plano amarillo y en la intersección con el plano del cuadro obtenemos su recta límite. La límite del plano y el punto límite de la recta forman 90º siendo O el vértice del ángulo.












Abatimos el ángulo de 90º y O abatido es un punto de la circunferencia, ya que O’-O tiene por longitud el radio.














Intersección de la recta perpendicular al plano con él.
Basta con incidir un plano por la recta (en gris), la intersección de las trazas y límites de los planos determinan otra recta que corta a a en P.














La proyección central P’de P, es la intersección de a’ con la recta de intersección de los planos.














Plano b perpendicular a otro a por un punto P

Por P hacemos una recta m perpendicular a a. Sabemos que cualquier plano b que pase por la recta a es perpendicular al plano a.














Según los principios de perpendicularidad, m, por ser perpendicular a a, tiene su punto límite L’m en correspondencia con l’a.
El plano b pasará por m, por lo que su recta límite l’b y traza t b pasará por el punto límite L’m y la traza Tm de la recta.

ángulos

Ángulo entre dos rectas:

Para calcular el ángulo entre dos rectas, se pasa un plano por las rectas. De esta forma las trazas y límites de las rectas estarán sobre la traza y límite del plano. A continuación se une O con los puntos límites de las rectas, obteniendo así dos rectas que abatimos respecto a la línea límite del plano. En el abatimiento podemos observar el ángulo real de las dos rectas. Por las trazas de las rectas hacemos paralelas a esas dos rectas abatidas, el ángulo que forman las dos (en rojo) es la solución.
















Proyección central de las dos rectas y el ángulo que forman (en rojo).
















Ángulo entre dos planos:

Para calcular el ángulo entre dos planos b y c, se dibuja la recta de intersección a, que queda definida por la intersección de las trazas de los planos (Ta), y por la intersección de las límites de los planos (L’a). Por un punto N de a se traza un plano a perpendicular a la recta (L’a y l’a se corresponderán en la antipolaridad respecto al círculo de distancia).
El plano a corta a b y c según las rectas p y u. El ángulo que forman p y u es el que forman los planos, y a partir de aquí es el caso del ejercicio anterior.















En proyección central observamos que los planos b y c se cortan según la recta a’ (a), definida por la intersección de l’c y l’b y por la intersección de tc y tb.
Por a trazamos un plano a perpendicular a a, su recta límite l’a será la antipolar de L’a.
Calculamos la intersección de a con b y de a con c, sus respectivas rectas de intersección, p, u, forman un ángulo que es el ángulo de los planos. La intersección de a y c es u (Tu-L’u, intersección respectiva de ta y tc, y de l’a y l’c) y de a y b es p (Tp-L’p, intersección respectiva de ta y tb, y de l’a y l’b). (La recta p tiene estos dos puntos: Tp-L’p, fuera de los márgenes del dibujo, pero se marca con flechas en el dibujo del espacio, la dirección donde estarían Tp en la prolongación de p y en su intersección con ta y L’p en la intersección con l’a).

Distancias

Distancia entre dos rectas que se cruzan:

Dadas dos rectas a, b que se cruzan, la distancia entre ellas o perpendicular común vendrá determinada por el antipolo L’m de L’a-L’b.















La intersección del plano definido por a y L´m y del plano definido por b y L’m es la recta m, perpendicular a a y b, su intersección con ellas es la distancia entre ellas.
















En proyección central se obtiene el antipolo L’m de L’a-L’b. Se traza por Tb, una paralela a L’b-L’m, y por Ta una paralela a L’a-L’m y en la intersección de las dos obtenemos el punto Tm, con lo que determinamos la recta perpendicular común a y b.
















La distancia entre las dos rectas será el segmento P-Q, puntos de intersección de m’ con b’ y con a’.